Повторення вивченого: 85

85. У прямокутному трикутнику з вершини прямого куга проведено висоту, бісектрису і медіану. Знайдіть гострі кути трикутника, якщо:

1) кут між висотою і бісектрисою дорівнює 10°; 2) кут між бісектрисою і медіаною дорівнює 15°; 3) кут між висотою і медіаною дорівнює 20°.

1) Hехай ∠HBL = 10°. Oскільки BL – бісектриса прямого кута, то

∠ABL = ∠LBC = 45°. Tоді ∠ABH = ∠ABL – ∠HBL = 45° – 10° = 35°. З прямокутного трикутника АНВ ∠А = 90° – ∠АВН = 90° – 35° = 55°. З прямокутного трикутника ABC ∠C = 90° – ∠А = 90° – 55° = 35°. Відповідь: 35°, 55°;

2) нехай ∠MBL = 15°. Oскільки BL – бісектриса прямого кута, то

∠ABL = ∠LBC = 45°. Tоді ∠MBC = ∠LBC – ∠MBL = 45° – 15° = 30°. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, тому трикутник BMC – рівнобедрений, тому

∠МСВ = ∠МВС = 30°. З прямокутного трикутника ABC ∠А = 90° –

– ∠С = 90° –30° = 60°.

Відповідь: 30°, 60°;

3) нехай ∠HBM = 20°. З прямокутного трикутника ВНМ ∠НМВ = 90°–

– ∠HBM = 90° – 20° = 70°. Тоді ∠BMC = 180° – ∠НМВ = 180° – 70° =

= 110° як суміжний з кутом ∠НМВ. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, тому трикутник BMC – рівнобедрений, тому ∠МСВ = ∠МВС = (180° – ∠BMC) : 2 = (180° – 110°) : 2 = 70° : 2 = 35°. З прямокутного трикутника ABC ∠A = 90° – ∠C = 90° – 35° = 55°.

Відповідь: 35°, 55°.