Вправи: 812

812. У колі із центром O проведено непаралельні хорди MK і NP, MK = NP, точки A i B — середини хорд MK і NP відповідно. Доведіть, що ∠OAB = ∠OBA.

Дано: O — центр кола. KM, NP — хорди (KM ∦ NC).

KМ = ND. А — середина KM. В — середина NP.

Довести: ∠OAB = ∠OBA.

Доведення: Виконаємо додаткові побудови:

радіуси OK, ОМ, ON, OP.

Розглянемо ∆KOM і ∆NOP.

KO = OM та NO = OP — радіуси, тобто KO = NO = OM = OP (за побудовою). За умовою KМ = NP.

За III ознакою рівності трикутників маємо: ∆KOM = ∆NOP. Звідси маємо: ∠OKM = ∠OPN, ∠OMK = ∠ONP.

За умовою А — середина KM, отже, KA = KM = 12KM.

В — середина NP, отже, BN = BP = 12NP.

Розглянемо ∆OAK і ∆ОРВ.

Якщо AK = PB; OK = OP, ∠OKM = ∠OPN.

За І ознакою рівності трикутників маємо: ∆OAK = ∆ОВР. Звідси маємо: OA = OB.

Тобто ∆OAB — рівнобедрений. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо: ∠OAB = ∠OBA.

Доведено.