Вправи: 815

815. Діаметр AB ділить кожну із хорд MN і PK, відмінних від діаметра, навпіл. Доведіть, що MN ∥ PK.

Дано: коло з центром в точці О. AB — діаметр.

MN i PK — хорди. ME = EN; E ∈ AB. PF = FK; F ∈ PK

Довести: PK ∥ MN.

Доведення: Виконаємо додаткову побудову:

радіуси ОМ, ON, OK, OP.

Розглянемо ∆MON — рівнобедрений

(ОМ = ON — радіуси).

За умовою E — середина MN i тому OE – медіана. За властивістю рівнобедреного трикутника маємо OE — висота, отже OE ⊥ MN.

Аналогічно ∆РОК — рівнобедрений (OP = OK — радіуси). F — середина PK; OF — медіана, тоді OF — висота, OF ⊥ PK.

OE ∈ AB; OF ∈ AB i тому маємо: AB ⊥ MN і AB ⊥ PK,

За властивістю паралельних прямих маємо: PK ∥ MN,

Доведено.