Вправи: 818

818. Пряма, яка паралельна хорді AC кола, дотикається до цього кола в точці В. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений.

Дано: коло з центром в точці О. AC — хорда. AC ∥ а;

а — дотична до кола; В — точка дотику.

Довести: ∆ABC — рівнобедрений.

Доведення: За умовою AC ∥ a; AB — січна.

За ознакою паралельності прямих маємо:

∠CAB = ∠ABN (внутрішні різносторонні).

Аналогічно AC ∥ a; CB — січна, ∠ACB = ∠CBP (внутрішні різносторонні). а — дотична до кола, В — точка дотику.

За властивістю дотичної маємо: OB ⊥ а.

Якщо а ∥ CA і OB ⊥ а, тоді за властивістю паралельних прямих маємо: OF ⊥ CA,

Виконаємо додаткову побудову: радіуси OA і ОС.

Розглянемо ∆АОС — рівнобедрений (AO = OC — радіуси).

OF ⊥ AC, OF — висота. За властивістю рівнобедреного трикутника маємо: OF — медіана. За означенням медіани трикутника маємо:

CE = AE.

Розглянемо ∆CEB і ∆AEB — прямокутні.

CE = AE; EB — спільна сторона.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆CEB = ∆АЕВ.

Звідси маємо: CB = AB. Отже, ∆АВС — рівнобедрений.

Доведено.