Вправи: 820

820. Коло, центр якого належить бісектрисі кута, перетинає кожну з його сторін у двох точках. Доведіть, що відрізки, які відтинає коло на сторонах кута, рівні.

Дано: ∠AKE. O ∈ KC;

KC — бісектриса ∠AKE.

AK перетинає коло в точках А, В. AE перетинає коло в точках E, F.

Довести: AB = EF.

Доведення: Виконаємо додаткову побудову: радіуси OA, OB, OE, OF.

Розглянемо ∆BOA — рівнобедрений (BO = AO).

Побудуємо висоту OP. За властивістю рівнобедреного трикутника маємо: OP — медіана.

За означенням медіани трикутника маємо: BP = PA = 12 BA, отже,

BA = 2BP. Аналогічно ∆FOE — рівнобедрений (OF = OE — радіуси).

Будуємо висоту OH, OH — медіана. FH = HE = 12FE; FE = 2FH.

Розглянемо ∆KPO і ∆KHO — прямокутний. KO — спільна сторона;

∠PKO = ∠HKO. (За умовою KO — бісектриса ∠PKH) .

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆KPO = ∆КНО.

Звідси маємо: OP = ОН.

Розглянемо ∆BOP і ∆FOH — прямокутний. BO = OF (радіуси);

OH = OP.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆BOP = ∆FOH.

Звідси маємо: BP = FH. Отже, якщо BP = FH, тоді BA = FE.

Доведено.