Вправи: 823

823. У колі проведено діаметр AB і хорди AC та BD такі, що AC ∥ BD. Доведіть, що відрізок CD — діаметр кола.

Дано: коло з центром в точці О; AC,

BD — хорди; AC ∥ BD; AB — діаметр.

Довести: CD — діаметр.

Доведення: Виконаємо додаткову побудову:

хорди AD і BC.

Розглянемо ∆ABC. Якщо O ∈ AB, тоді ∆ВАС — прямокутний

(∠ACB = 90°). Аналогічно ∆ADB — прямокутний (∠ADB = 90°).

Нехай ∠ACD = х . За аксіомою вимірювання кутів маємо:

∠ACB = ∠ACD + ∠DCB; ∠DCB = 90° – x.

За умовою AC ∥ BD; CD — січна. За ознакою паралельності прямих

маємо: ∠ACD = ∠CDB = х (внутрішні різносторонні).

Розглянемо ∆DBC. За теоремою про суму кутів трикутника маємо:

∠DCB + ∠CBD + ∠BDC = 180°.

∠CBD = 180° – (∠DCB + ∠BDC); ∠CBD = 180° – (х + 90° – х) = 90°.

Отже, ∆DBC — прямокутний (∠DBC = 90°).

Отже, O ∈ DC. Якщо O ∈ AB; O ∈ DC, де O — центр кола, тоді

AB DC = 0, тобто DC — діаметр. Доведено.