Вправи: 824

824. У рівнобедреному трикутнику ABC відомо, що AB = BC, точка O — центр вписаного кола, точки D i E — точки дотику вписаного кола до сторін AC і AB відповідно, ∠ABC = 48°. Знайдіть кут DOE.

Дано: ∆ABC — рівнобедрений. AB = BC.

O — центр вписаного кола. D ∈ AC, E ∈ AB.

D i E — точки дотику. ∠ABC = 48°.

Знайти: ∠DOE.

Розв'язання: Розглянемо ∆ABC — рівнобедрений.

За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо: ∠BAC = ∠BCA.

За теоремою про суму кутів трикутника маємо:

∠ABC + ∠ACB + ∠BCA = 180°.

∠BAC = ∠BCA = (180° – 48°) : 2 = 132° : 2 = 66°.

Якщо O — центр вписаного кола, тоді AO — бісектриса ∠BAC, тобто

∠EAO = ∠DAO = 12 ∠EAD = 66° : 2 = 33°.

Якщо D і E точки дотику. За властивістю дотичних маємо: OD ⊥ AC,

OE ⊥ AB; ∠ADO = ∠AEO = 90°. Розглянемо ∆AEO і ∆ADO — прямокутні. OD = OE — радіуси вписаного кола; AO — спільна сторона, ∠EAO = ∠DAO.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆EAO = ∆DAO.

Звідси маємо: ∠EOA = ∠DOA.

За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо:

∠EOA = 90° – 33° = 57°, ∠AOD = 57°. За аксіомою вимірювання кутів, маємо: ∠EOD = ∠EOA + ∠AOD; ∠EOD = 57° + 57° = 114°.

Відповідь: 114°.