Вправи: 826

826. Бісектриси AD і CE трикутника ABC перетинаються в точці O₁,

бісектриси EF і DK трикутника DEB перетинаються в точці O₂.

Доведіть, що точки В, O₁ і O₂ лежать на одній прямій.

Даної ∆ABC. AD і CE — бісектриси ∆ABC.

AD CE = O₁, EF і DK — бісектриси ∆KBF.

EF DK = O₂.

Довести: B, O₁, O₂ належать одній прямій.

Доведення: За умовою AD і CE — бісектриси кутів

∆АВС. AD CE = O₁, тобто O₁ — є центром

кола вписаного у ∆АВС; BM — проходить через

т. O₁, BM є бісектрисою ∠ABC.

За умовою DK і EF — бісектриси кутів ∆DBE.

EF DK = O₂, тобто O₂ — є центром кола, вписаного у ∆EBD; BM –

бісектриса ∠ABC (∠ABC = ∠EBD). Отже, BM проходить через т. O₂.

Звідси маємо: В ∈ BM, O₁ ∈ BM, O₂ ∈ BM.

Точки В, O₁, O₂ належать одній прямій. Доведено.

827.