Вправи: 513

513. Доведіть рівність трикутників за двома кутами й висотою,

проведеною з вершини третього кута.

Дано: ∆ABC і ∆A₁B₁C₁. ∠A = ∠A₁;

∠C = ∠C₁. BN — висота (BN ⊥ AC);

B₁N₁ висота (B₁N₁ ⊥ A₁C₁).

BN = B₁N₁.

Довести: ∆ABC = ∆A₁B₁C₁.

Доведення:

За умовою BN — висота (BN ⊥ AC); ∠BNA = 90°.

Аналогічно B₁N₁ — висота; ∠B₁N₁A₁ = 90°.

Розглянемо ∆ABN і ∆A₁B₁N₁:

1)∠ANB = ∠A₁N₁B₁ = 90°; 2) ∠A = ∠A₁; 3) BN = B₁N₁.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо:

∆ANB = ∆A₁N₁B₁.

Звідси AB = A₁B₁. Розглянемо ∆CNB і ∆C₁N₁B₁:

1) ∠CNB = ∠C₁N₁B₁ = 90°; 2) ∠C = ∠C₁; 3) BN = B₁N₁.

Звідси ∆CNB = ∆C₁N₁B₁. Отже, BC = B₁C₁.

Якщо ∠A = ∠A₁ і ∠C = ∠C₁, тоді ∠B = ∠B₁.

Розглянемо ∆ABC і ∆A₁B₁C₁: AB = A₁B₁; BC = B₁C₁; ∠B = ∠B₁.

Тому за І ознакою рівності трикутників маємо: ∆ABC = ∆A₁B₁C₁.

Доведено.