Вправи: 512

512. Чи можна стверджувати, що коли дві сторони й висота, проведена до третьої сторони, одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і висоті, проведеній до третьої сторони, другого трикутника, то ці трикутники рівні?

Дано; ∆ABC і ∆A₁B₁C₁. AB = A₁B₁;

BC = B₁C₁. BN, B₁N₁ — висота.

BN ⊥ AC; B₁N₁ ⊥ A₁C₁. BN = B₁N₁.

Довести: ∆АВС = ∆A₁B₁C₁.

Доведення:

За умовою BN — висота, BN ⊥ AC; ∠BNC = 90°.

Аналогічно B₁N₁ — висота, B₁N₁ ⊥ A₁C₁; ∠B₁N₁C₁ = 90°.

Розглянемо ∆ANB і ∆A₁N₁B₁:

1) ∠ANB = ∠A₁N₁B₁ = 90°; 2) AB = A₁B₁; 3) BN = B₁N₁.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо:

∆ANB = ∆A₁N₁B₁. Звідси AN = A₁N₁.

Розглянемо ∆BNC = ∆B₁N₁C₁:

1) ∠BNC = ∠B₁N₁C₁ = 90°; 2) BN = B₁N₁; 3) BC = B₁C₁.

Аналогічно ∆BNC = ∆B₁N₁C₁. Звідси NC = N₁C₁. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: AC = AN + NC і A₁C₁ = A₁N₁ + N₁C₁.

Отже, AC = A₁C₁.

Розглянемо ∆ABC і ∆A₁B₁C₁: AB = A₁B₁; BC = B₁C₁; AC = A₁C₁.

За III ознакою рівності трикутників ∆ABC = ∆A₁B₁C₁. Доведено.