Вправи
Вправи: 510
Готова відповідь до завдання 510 з Геометрія 7 клас Мерзляк.
Геометрія, 7 клас · Вправи
Текстова відповідь
510. Висоти AM і CK трикутника ABC перетинаються в точці Н, HK = HM. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений.
Дано: ∆ABC. CK — висота (CK ⊥ AB). AM — висота (AM ⊥ BC).
AM CK = H. KH = HМ.
Довести: ∆АВС — рівнобедрений.
Доведення:
За умовою AM — висота (AM ⊥ BC); ∠AMC = 90°.
Аналогічно CK — висота, ∠AKC = 90°.
Розглянемо ∆AHK і ∆CHM:
1) ∠AKH = ∠CMH = 90°; 2) ∠AHK = ∠CHM (вертикальні); 3) KH = HM.
За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆AHK = ∆CHM.
Звідси ∠KAH = ∠MCH. AH = HC.
Розглянемо ∆AHC — рівнобедрений. За властивістю кутів при основі
рівнобедреного трикутника маємо: ∠HAC = ∠HCА.
За аксіомою вимірювання кутів маємо:
∠BAC = ∠BAM + ∠MAC; ∠BCA = ∠BCK + ∠KCA.
Звідси ∠BAC = ∠BCA. Отже ∆АВС — рівнобедрений. Доведено.