Вправи: 509

509. Доведіть рівність трикутників за стороною та проведеними до неї медіаною та висотою.

Дано: ∆ABC і ∆A₁B₁C₁. AC = A₁C₁;

BN і B₁N₁ — висоти. BN ⊥ AC;

B₁N₁ ⊥ A₁C₁. BP і B₁P₁ — медіани.

BN = B₁N₁; BP = B₁P₁.

Довести: ∆ABC = ∆A₁B₁C₁.

Доведення:

За умовою BN — висота, BN ⊥ AC; ∠BNC = 90°.

Аналогічно B₁N₁ — висота, ∠B₁N₁C₁ = 90°.

BP — медіана. За означенням медіани трикутника маємо:

AP = PC = 12AC.

Аналогічно B₁P₁ — медіана, тоді A₁P₁ = P₁C₁ = 12A₁C₁.

Розглянемо ∆BNP і ∆B₁N₁P₁: 1) ∠BNP = ∠B₁N₁P₁ = 90°;

2) за умовою BN = B₁N₁; 3) за умовою BP = B₁P₁.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо:

∆BNP = ∆B₁N₁P₁.

Звідси NP = N₁P₁ і ∠BPN = ∠B₁P₁N₁.

Якщо AP = A₁P₁ і NP = N₁P₁, звідси AN = A₁N₁.

Якщо ∠BPN = ∠B₁P₁N₁, тоді ∠BPC = ∠B₁P₁C₁, як суміжні рівним кутам.

Розглянемо ∆BNA і ∆B₁N₁A₁: ∠BNA = ∠B₁N₁A₁ = 90°; ВN = B₁N₁;

AN = A₁N₁.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо:

∆ANB = ∆A₁N₁B₁.

Звідси ∠BAN = ∠B₁A₁N₁.

Розглянемо ∆BPC і ∆B₁P₁C₁: BP = B₁P₁; PC = P₁C₁; ∠BPC = ∠B₁P₁C₁.

За І ознакою рівності трикутників маємо: ∆BPC = ∆B₁P₁C₁.

Звідси ∠BCP = ∠B₁C₁P₁.

Розглянемо ∆ABC і ∆A₁B₁C₁: AC = A₁C₁; ∠BAC = ∠B₁A₁C₁;

∠BCA = ∠B₁C₁A₁.

За II ознакою рівності трикутників маємо ∆ABC = ∆A₁B₁C₁. Доведено.