Вправи: 506

506. Пряма перетинає сторони AB і BC трикутника ABC відповідно

в точках M і К, які є серединами цих сторін. Доведіть, що вершини

даного трикутника рівновіддалені від прямої MK.

Дано: ∆АВС. M — середина АВ.

K — середина BC.

AP ⊥ MX; BE ⊥ MK; CF ⊥ MK.

Довести: AP = BE = CF.

Доведення:

За умовою K — середина BC, тоді

BK = KC.

Аналогічно M — середина АВ, тоді AM = MB.

Розглянемо ∆BEK і ∆CFK.

За умовою BE ⊥ MK; ∠BEK = 90°. Аналогічно CF ⊥ MK; ∠CFK = 90°.

1) ∠BEK = ∠CFK = 90°; 2) ∠BKE = ∠CKF (вертикальні); 3) BK = KC.

За І ознакою рівності трикутників маємо: ∆BEK = ∆CFK. Звідси

BE = CF.

Розглянемо ∆APM і ∆BEM : ∠APM = ∠BEM = 90°; AM = MP;

∠AMP = ∠BME (вертикальні). За І ознакою рівності трикутників маємо: ∆APM = ∆ВЕМ. Звідси BE = АР. Отже AP = BE = CF. Тому вершина трикутника рівновіддалена від прямої MK.

Доведено.