Вправи: 504

504. Доведіть рівність прямокутних трикутників за катетом і медіаною, проведеною до другого катета.

Дано: ∆ABC; ∆A₁B₁C₁ — прямокутні. ∠B = 90°; ∠B= 90°.

AB = A₁B₁;

AN; A₁N₁ — медіани. AN = A₁N₁.

Довести: ∆ABC = ∆A₁B₁C₁.

Доведення:

За умовою AN — медіана.

За означенням медіани трикутника маємо: ВN = NC.

Аналогічно A₁N₁ — медіана, тоді B₁N₁ = N₁C₁.

Розглянемо ∆ABN і ∆A₁B₁N₁:

1) ∠B = ∠B₁ = 90°; 2) за умовою AB = A₁B₁; AN = A₁N₁.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆ABN =

= ∆A₁B₁N₁.

Звідси BN = B₁N₁. Тоді маємо BC = B₁C₁. Розглянемо ∆ABC і ∆A₁B₁C₁:

1) ∠B = ∠B₁ = 90°; 2) AB = A₁B₁ (за умовою); 3) BC = B₁C₁.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо:

∆ABC = ∆A₁B₁C₁. Доведено.