Вправи: 497

497. На бісектрисі кута з вершиною в точці В позначили точку М, з якої опустили перпендикуляри MD і MC на сторони кута. Доведіть, що MD = MC.

Дано: ∠B; MB — бісектриса ∠B; MC ⊥ BC; MD ⊥ BD.

Довести: MC = MD.

Доведення:

За умовою MC ⊥ CB; ∠MCB = 90° і MD ⊥ BD9 ∠MDB = 90°.

За умовою MB — бісектриса ∠CBD. За означенням бісектриси кута маємо:

∠MBC = ∠MBD.

Розглянемо ∆MCB і ∆MDC:

1) ∠MCB = ∠MDB = 90°;

2) ∠MBC = ∠MBD;

3) MB — спільна сторона.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆MCB = ∆MDB.

Звідси MC = MD (як рівні елементи рівних фігур).

Доведено.