Вправи: 499

499. Доведіть, що висоти рівнобедреного трикутника, проведені до його бічних сторін, є рівними.

Дано: ∆ABC — рівнобедрений. AB = BC; AN,

CK — висоти; AN ⊥ BC, CK ⊥ AB.

Довести: AN = CK.

Доведення:

За умовою ∆ABC — рівнобедрений (AB = BC).

За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо:

∠BAC = ∠BCA. За умовою AN ⊥ BC; ∠ANC = 90°; CK ⊥ AB, ∠CKA =90°.

Розглянемо ∆AKC і ∆CNA:

1) ∠ANC = ∠CKA = 90°; 2) ∠BAC = ∠BCA; 3) AC — спільна сторона.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆AKC = ∆CNA.

Звідси AN = CK (як рівні елементи рівних фігур).

Доведено.