Вправи: 500

500. Доведіть, що коли дві висоти трикутника рівні, то цей трикутник є рівнобедреним.

Дано: ∆ABC; AN — висота; AN ⊥ BC; CK — висота, CK ⊥ AB.

AN = CK.

Довести: ∆ABC — рівнобедрений.

Доведення:

За умовою AN ⊥ BC; ∠ANC = 90° і KC ⊥ AB,

∠CKA = 90°.

Розглянемо ∆AKC і ∆ANC:

1) ∠AKC = ∠CNA = 90°; 2) AN = CK (за умовою);

3) AC — спільна сторона.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆ANC = ∆СКА.

Звідси ∠NCA = ∠KAC. Тоді за властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо: ∆ABC — рівнобедрений. Доведено.