Вправи: 305

305. Доведіть ознаку рівності трикутників за медіаною та кутами, на які вона розбиває кут трикутника.

Якщо медіана і два кута, на які вона розбиває кут одного трикутника дорівнює відповідно медіані і двом кутам, на які вона розбиває кут іншого трикутника, то ці трикутники рівні.

Доведення: В ∆АВС на промені BM відкладемо MD = BM.

Розглянемо ∆АВМ і ∆CDM. 1) BM = MD (за побудовою);

2) ∠AMB = ∠CMD (як вертикальні);

3) AM = MC (BM — медіана).

Отже, ∆АВМ = ∆CDM за І ознакою рівності трикутників. З цього випливає, що ∠ABM = ∆CDM.

Аналогічно, у ∆B₁C₁D₁: ∠A₁B₁M₁ = ∠C₁D₁M₁.

Розглянемо ∆BCD і ∆B₁C₁D₁.

1) BD = B₁D₁ (за побудовою); 2) ∠MBC = ∠M₁B₁C₁ (за умовою);

3) ∠MDC = ∠M₁D₁C₁. Отже, ∆BCD = ∆B₁C₁D₁ за II ознакою рівності трикутників. З цього випливає, що BC = B₁C₁.

Розглянемо ∆BMC і ∆B₁M₁C₁.

1) BM = B₁M₁ (за умовою); 2) BC = B₁C₁ (т. я. ∆BCD – ∆B₁C₁D₁);

3) ∠MBC – ∠M₁B₁C₁ (за умовою). Отже, ∆BMC = ∆B₁M₁C₁ за І ознакою рівності трикутників. Тоді ∠BCM = ∠B₁C₁M₁.

Розглянемо ∆АВС і ∆A₁B₁C₁.

1) BC = B₁C₁ (т. я. ∆BCD = ∆B₁C₁D₁);

2) ∠BCA = ∠B₁C₁A₁ (т. я. ∆BMC = ∆B₁M₁C₁).

1) ∠B = ∠B₁ (як кут, що складається з рівних кутів).

Тоді ∆АВС = ∆A₁B₁C₁ за II ознакою рівності трикутників.