Вправи: 283

283. На рисунку 200 AB = CD, BC = AD, BM — бісектриса кута ABC, DK — бісектриса кута ADC. Доведіть, що ∆ABM = ∆CDK.

Дано: AB = CD, BC = AD,

BM — бісектриса ∠ABC,

DK — бісектриса ∠ADC.

Довести: ∆ABM = ∆CDK.

Доведення: Розглянемо ∆ABC і ∆CDA.

За умовою AB = CD, BC = AD,

AC — спільна сторона.

За III ознакою рівності трикутників маємо ∆ABC = ∆CDA. Звідси маємо ∠ABC = ∠CDA, ∠BCA = ∠CAB (як рівні елементи рівних фігур).

За умовою BM — бісектриса ∠ABC, тоді за означенням бісектриси кута маємо ∠ABM = ∠MBC.

Аналогічно, якщо DK — бісектриса ∠ADC, тоді ∠ADK = ∠KDC.

Отже, ∠ABM = ∠MBC = ∠ADK = ∠KDC.

Розглянемо ∆ABM і ∆CDK. AB = CD, ∠ABM = ∠CDK, ∠BAM = ∠KCD.

За II ознакою рівності трикутників маємо ∆ABM = ∆CDK. Доведено.