Вправи: 536

536. Відрізки AB і CD лежать на одній прямій і мають спільну середину. Точку M вибрано так, що трикутник AMB рівнобедрений з основою AB. Доведіть, що трикутник CMD є також рівнобедреним з

основою CD.

Нехай дано відрізки AB і CD, т. K — спільна середина. ∆ABM —

рівнобедрений, AB — основа. Доведемо, що ∆CMD — рівнобедрений,

CD — основа.

Розглянемо ∆ABM — рівнобедрений.

AM = MB, ∠MAB = ∠ABM.

Розглянемо ∆САМ і ∆DBM.

1) AM = MB (∆АВМ — рівнобедрений).

2) ∠CAM = ∠DBM (як суміжні з рівними ∠BAM = ∠ABM).

3) CA = BD (CK = CA + AK, KD = KB + BD, CK = KD, AK = KB).

Отже, ∆САМ = ∆DBM (за І ознакою), тоді CM = MD.

Розглянемо ∆CMD — рівнобедрений (CM = MD).