Вправи: 538

538. У гострокутному трикутнику ABC проведено бісектрису BM. Із точки M на сторону BC опущено перпендикуляр MK. Виявилося, що ∠ABM = ∠KMC. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений.

Нехай дано ∆ABC, BM — бісектриса, MK ⊥ BC.

∠ABM = ∠KMC. Доведемо, що

∆ABC — рівнобедрений.

∠ABM = ∠MBC (BM — бісектриса ∠B).

∠ABM = ∠KMC, тоді ∠ABM = ∠KMC = ∠MBC = х.

Розглянемо ∆MKC (∠K = 90°). ∠KMC + ∠C = 90°;

∠C = 90° – х.

Розглянемо ∆BMC. ∠MBC + ∠BMC + ∠C = 180°;

∠BMC = 180° – (90° – x + x) = 90°.

Розглянемо ∆ABC. BM — бісектриса (за умовою), BM – висота (ВМ ⊥ AС).

Тоді ∆ABC — рівнобедрений.