Вправи: 534

534. Через точку C проведено дотичні AC і BC до кола, А і В — точки дотику (рис. 298). На колі взято довільну точку М, що лежить в одній півплощині з точкою C відносно прямої AB, і через неї проведено дотичну до кола, яка перетинає прямі AC і BC у точках D i E відповідно. Доведіть, що периметр трикутника DEC не залежить від вибору точки М.

Нехай дано коло (О; R), CA, CB, DE — дотичні, точки А, В, M відповідно є точками дотику.

За властивістю відрізків дотичних, проведених з однієї точки до кола: AC = BC = х; AD = DM = у; BE = EM = z;

P∆_EDC = ED + DC + CE;

ED = EM + MD = z + у; DC = AC – AD = х – у; EC = BC – BE = х – z;

P∆_EDC = z + y + x – y + x + z = 2x = 2АС = 2ВС.

Тобто периметр ∆EDC не залежить від вибору т. М.