Вправи: 525

525. Через точку C кола із центром O проведено дотичну до цього кола, AB — діаметр кола. Із точки А на дотичну опущено перпендикуляр AD. Доведіть, що промінь AC — бісектриса кута BAD.

Нехай дано коло (О; R), пряма а — дотична до кола, т. C — точка дотику, AB — діаметр, AD ⊥ а. Доведемо, що AC — бісектриса ∠DAB. Проведемо радіус CO в точку дотику, тоді за властивістю дотичної

OC ⊥ a. ∠DCO = 90°.

Розглянемо ∆AOC — рівнобедрений (т. я. AO = OC = R), нехай ∠OAC = ∠ACO = х.

∠DCO = ∠DCA + ∠ACO; 90° = ∠DCA + х;

∠DCA = 90° – x.

Розглянемо ∆ACD (∠D = 90°, AD ⊥ а).

∠DCA = 90° – x, тоді ∠DAC = х.

Маємо: ∠DAC = ∠CAO = х, отже, AC — бісектриса ∠DAO.