Вправи: 502

502. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC проведено бісектриси AD і CE. Доведіть, що AE = ED.

Дано: ∆ABC — рівнобедрений. AC — основа,

AD — бісектриса ∠BAC, CE — бісектриса ∠ACB.

Довести: AE = ED.

Доведення: Розглянемо ∆ABC — рівнобедрений

(AB = BC). За властивістю кутів рівнобедреного

трикутника маємо: ∠BAC = ∠BCА.

За умовою AD — бісектриса ∠BAC, тоді ∠BAD = ∠DAC = 12 ∠BAC.

Аналогічно CE — бісектриса ∠BCA, тоді ∠BCE = ∠ECA = 12 ∠BCA.

Нехай ∠ECA = ∠CAD = ∠DAE = x, тоді ∠CAE = 2х.

Розглянемо ∆CAE. За теоремою про суму кутів трикутника маємо:

∠CEA = 180° – (х + 2х) = 180° – ∠x.

Розглянемо ∆AOE. За теоремою про суму кутів трикутника маємо:

∠EOA = 180° – (180° – 3x + х) = 180° – 180° + 3x – х = 2х.

∠AOE і ∠EOD — суміжні.

За теоремою про суміжні кути маємо:

∠EOA = 180° – 2х.

∆EOD — рівнобедрений. Тому ∠OED = ∠ODE = (180° – (180° – 2х)) :

: 2 = (180° – 180° + 2х) : 2 = (2х) : 2 = х. Отже, ∠EAO = ∠ODE.

Тому ∆AED — рівнобедрений. Отже, АЕ = ED. Доведено.