Вправи: 504

504. На стороні AB трикутника ABC позначили точку M так, що BM =

= CM, промінь MK — бісектриса кута АМС. Доведіть, що MK ∥ BC.

Дано: ∆ABC, M ∈ AB, CM = MB.

MK — промінь, MK — бісектриса ∠AMC.

Довести: MK ∥ CB.

Доведення:

За умовою MK — бісектриса ∠AMC.

За означенням бісектриси трикутника маємо:

∠AMK = ∠KMC = 12 ∠AMC.

Нехай ∠AMK = ∠KMC = х, тоді ∠AMC = 2х. ∠AMC і ∠CMB — суміжні.

За теоремою про суміжні кути маємо: ∠CMB = 180° – 2х.

За умовою CM = MB.

Отже, ∆CMB — рівнобедрений. За властивістю кутів рівнобедреного

трикутника маємо:

∠MCB – ∠MBC = (180° – (180° – 2х)) : 2 = (180° – 180° + 2х) : 2 =

= (2х) : 2 = х. Отже, ∠AMK = ∠MBC = х.

∠AMK і ∠MBC — відповідні.

Тому за ознакою паралельності прямих маємо: MK ∥ BC, AB – січна.

Доведено.