Вправи: 499

499. Відрізок AB — діаметр кола, M — довільна точка кола, відмінна від точок А і В. Доведіть, що ∠AMB = 90°.

Дано: Коло з центом О. M належить колу. AB — діаметр.

Довести: ∠AMB = 90°.

Доведення: Виконаємо додаткову побудову — радіус ОМ.

∆AOM — рівнобедрений (AO = OM — радіуси).

За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо ∠OAM = ∠OMA.

Нехай ∠OAM = x, тоді ∠OMA = х. За теоремою про суму кутів трикутника маємо ∠AOM = 180° – (х + х) = 180° – 2х.

∠AOM і ∠MOB — суміжні. За теоремою про суміжні кути маємо:

∠MOB = 180° – (180° – 2х) = 180° – 180° + 2х = 2х.

Розглянемо ∆MOB — рівнобедрений (ОМ = OB — радіуси).

∠OBM = ∠OMB = (180° – 2х) : 2 = 90° – x.

За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠AMO + ∠OMB = ∠AMВ;

∠AMB = х + 90° – х = 90°. Доведено.