Вправи: 442

442. Доведіть рівність прямокутних трикутників за катетом і бісектрисою, проведеною з вершини прилеглого до цього катета гострого кута.

Дано: ∆ABC — прямокутний (∠B = 90°).

∆A₁B₁C₁ — прямокутний (∠B₁ = 90°).

AB = A₁B₁. AN — бісектриса ∠BAC;

A₁N₁ — бісектриса ∠B₁A₁C₁.

AN = A₁N₁.

Довести: ∆ABC – ∆A₁B₁C₁.

Доведення:

За умовою AN — бісектриса ∠BAC, тоді

за означенням бісектриси маємо: ∠BAN = ∠NAC.

Аналогічно, якщо A₁N₁ — бісектриса ∠B₁A₁C₁ тоді ∠B₁A₁N₁ = ∠N₁A₁C₁.

Розглянемо ∆BAN і ∆B₁A₁N₁:

1) ∠ABN = ∠B₁A₁N₁ = 90°;

2) AB = A₁B₁ (за умовою);

3) AN = A₁N₁ (за умовою).

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆BAN=∆B₁A₁N₁.

Звідси ∠BAN = ∠B₁A₁N₁ тоді ∠BAC = ∠B₁A₁C₁.

Розглянемо ∆ABC і ∆A₁B₁C₁:

1) ∠ABC = ∠A₁B₁C₁ = 90°; 2) AB = A₁B₁; 3) ∠BAC = ∠B₁A₁C₁.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆ABC.

Доведено.