Вправи: 445

445. Доведіть рівність гострокутних трикутників за стороною та двома висотами, проведеними з кінців цієї сторони.

Дано: ∆ABC, ∆A₁B₁C₁ — гострокутні. AC = A₁C₁; AN; PC; A₁N₁; P₁C₁ — висоти. AN ⊥ BC; CP ⊥ AB; A₁N₁ ⊥ B₁C₁; C₁P₁ ⊥ A₁B₁;

AN = A₁N₁; CP = C₁P₁.

Довести: ∆ABC = ∆A₁B₁C₁.

Доведення:

Розглянемо ∆ANC і ∆A₁N₁C₁:

За умовою AN — висота

(AN ⊥ BC) ∠ANC = 90°. Аналогічно ∠A₁N₁C₁ = 90°.

1) ∠ANC = ∠A₁N₁C₁ = 90°; 2) AN = A₁N₁ (за умовою);

3) AC = A₁C₁ (за умовою).

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо:

∆ANC = ∆A₁N₁C₁. Звідси ∠C = ∠C₁.

За умовою CP — висота (CP ⊥ AB) ∠CPA = 90°.

Аналогічно ∠C₁P₁A₁ = 90°.

Розглянемо ∆CPA і ∆C₁P₁A₁: 1) ∠APC = ∠A₁P₁C₁ = 90°;

2) CP = C₁P₁ (за умовою); 3) AC = A₁C₁ (за умовою).

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆APC і ∆A₁P₁C₁.

Звідси ∠A = ∠A₁.

Розглянемо ∆ABC і ∆A₁B₁C₁: AC = A₁C₁; ∠A = ∠A₁; ∠C = ∠C₁.

За II ознакою рівності трикутників маємо: ∆ABC = ∆A₁B₁C₁.

Доведено.