Вправи: 448

448. Пряма перетинає сторони AB і BC трикутника ABC у точках M i K відповідно. Вершини даного трикутника рівновіддалені від прямої MK. Доведіть, що точки M і K є серединами сторін AB і BC відповідно.

Дано: ∆АВС. AP ⊥ MK; BE ⊥ MK; CE ⊥ MK. AP = BE = CF.

Довести: M — середина АВ, K — середина BC.

Доведення: За умовою вершини трикутника рівновіддалені від прямої MK, тобто AP ⊥ MK; BE ⊥ MK;

CF ⊥ MK і AP = BE = CF.

Розглянемо ∆BEK і ∆CFK.

BE ⊥ MK; ∠BEK = 90° і CF ⊥ MK; ∠CFK = 90°.

∠BEK = ∠CFK = 90°. BE = CF. ∠BKE = ∠CKF (вертикальні).

За ознакою рівності прямокутника трикутників маємо: ∆BEK = ∆CFK.

Звідси BK = KC, отже K — середина BC.

Аналогічно ∆APM = ∆ВЕМ.

∠APM = ∠BEM = 90°; ∠AMP .= ∠BME (вертикальні); AP = ВE. Звідси

AM = MB. M — середина відрізка AB. Доведено.