Вправи: 449

449. Висоти AM і CK трикутника ABC перетинаються в точці Н, HK - HM. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений.

Дано: ∆ABC. CK — висота (CK ⊥ AB). AM — висота (AM ⊥ BC).

AM CK = H. KH = HМ.

Довести: ∆АВС — рівнобедрений.

Доведення:

За умовою AM — висота (AM ⊥ BC); ∠AMC = 90°.

Аналогічно CK — висота, ∠AKC = 90°.

Розглянемо ∆AHK і ∆CHM:

1) ∠AKH = ∠CMH = 90°; 2) ∠AHK = ∠CHM (вертикальні); 3) KH = HM.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆AHK = ∆CHM.

Звідси ∠KAH = ∠MCH. AH = HC.

Розглянемо ∆AHC — рівнобедрений. За властивістю кутів при основі

рівнобедреного трикутника маємо: ∠HAC = ∠HCА.

За аксіомою вимірювання кутів маємо:

∠BAC = ∠BAM + ∠MAC; ∠BCA = ∠BCK + ∠KCA.

Звідси ∠BAC = ∠BCA. Отже ∆АВС — рівнобедрений. Доведено.