Вправи: 450

450. Висоти ME і NF трикутника MKN перетинаються в точці О,

OM = ON, MF = KE. Доведіть, що трикутник MKN рівносторонній.

Дано: ∆MKN. ME — висота (ME ⊥ KN).

FN — висота (FN ⊥ MK). ME FN = 0.

OM = ON; MF = KE.

Довести: ∆MNK — рівносторонній.

Доведення: Розглянемо ∆MOF і ∆NOE.

За умовою NF — висота (NF ⊥ MK); ∠NFM = 90° і МЕ – висота;

∠MEN = 90°.

1) ∠MFO = ∠NEO = 90°; 2) ∠MOF = ∠NOE (вертикальні); 3) OM = ON.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆MFO = ∆NEO.

Звідси MF = EN. За умовою MF = KE і MF = EN, тобто KE = EN.

За умовою ME — висота. Тоді ∆MKN — рівнобедрений, MK = MN.

Розглянемо ∆MFN і ∆NEM:

1) ∠MFN = ∠MEN = 90°; 2) MF = EN; 3) MN — спільна сторона.

Тому ∆MFN = ∆NEM. Звідси ∠FMN = ∠MNE.

Отже, ∆MKN — рівнобедрений. MK = KN.

Якщо MK = MN і МK = KN. Тому ∆АВС — рівносторонній.

Доведено.