Вправи: 440

440. Доведіть рівність прямокутних трикутників за катетом

і бісектрисою, проведеною з вершини прямого кута.

Дано: ∆ABC — прямокутний (∠B = 90°).

∆A₁B₁C₁ — прямокутний (∠B₁ = 90°).

BC = B₁C₁; BN — бісектриса ∠ABC;

B₁N ₁ – бісектриса ∠∆A₁B₁C₁.

Довести: ∆ABC = A∆₁B₁C₁.

Доведення: За умовою ∠ABC = 90° і BN — бісектриса ∠ABC. За означенням бісектриси кута маємо: ∠ABN = ∠NBC = 90° : 2 = 45°.

Аналогічно B₁N₁ – бісектриса ∠A₁B₁C₁, тоді

∠A₁B₁N₁ = ∠N ₁B₁C₁ = 45°.

Розглянемо ∆NBC і ∆N₁B₁C₁: 1) BN – B₁N₁ (за умовою);

2) BC = B₁C₁ (за умовою); 3) ∠NBC = ∠N₁B₁C₁ = 45°.

За І ознакою рівності трикутників маємо: ∆NBC = ∆N₁B₁C₁. Звідси

∠C = ∠C₁.

Розглянемо ∆ABC і ∆A₁B₁C₁:

1) ∠ABC = ∠A₁B₁C₁ = 90°; 2) BC = B₁C₁; 3) ∠C = ∠C₁.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо:

∆ABC = ∆A₁B₁C₁. Доведено.