Вправи: 437

437. На сторонах кута з вершиною в точці В позначили точки A і C так, що AB = BC. Через точки A і C провели прямі, які перпендикулярні до сторін BA і BC відповідно та перетинаються в точці О. Доведіть, що промінь BO — бісектриса кута ABC.

Дано: ∠B; AB = BC; CK ⊥ KB; AN ⊥ NB; AN CK = 0.

Довести: BO — бісектриса ∠ABC.

Доведення:

За умовою CK ⊥ KВ, ∠CKB = 90° і AN ⊥ NB,

тоді ∠ANB = 90°.

Розглянемо ∆ANB і ∆СКВ: 1) ∠ANB = ∠CKB = 90°;

2) AB = BC (за умовою); 3) ∠B — спільний.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо ∆ANB = ∆CKB,

Звідси ∠BAN = ∠BCK (як рівні елементи рівних фігур); BN = BK,

Якщо AB = BC і BN = BK, тоді AK = NC.

Розглянемо ∆AOK і ∆CON: 1) ∠OKA – ∠ONC = 90°; 2) AK = NC;

3) ∠AOK = ∠NOC (вертикальні).

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆AOK = ∆CON.

Звідси OK = ON. Розглянемо ∆ONB і ∆ОКВ:

1) ∠OKB = ∠ONB = 90°; 2) OB — спільна сторона; 3) OK = ON.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆ONB = ∆OKB.

Тоді ∠OBN = ∠OBK. Тоді OB — бісектриса ∠ABC. Доведено.