Вправи: 441

441. Доведіть рівність прямокутних трикутників за катетом і висотою, проведеною з вершини прямого кута.

Дано: ∆ABC — прямокутний (∠B = 90°).

∆A₁B₁C₁ — прямокутний (∠B₁ = 90°).

AB = A₁B₁. BN – висота (BN ⊥ AC).

B₁N₁ – висота (B₁N₁ ⊥ A₁C₁).

BN = B₁N₁.

Довести: ∆ABC = ∆A₁B₁C₁.

Доведення: За умовою: BN — висота (BN ⊥ AC), тоді

∠BNC = ∠BNA = 90°.

Аналогічно B₁N₁ — висота, ∠B₁N₁C₁ = ∠B₁N₁A₁ = 90°.

Розглянемо ∆BNA і ∆B₁N₁A

За умовою BN = B₁N₁ і BA = B₁A₁; ∠BNA = ∠B₁N₁A₁ = 90°.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо:

∆BNA = ∆B₁N₁A ₁. Звідси ∠A = ∠A₁.

Розглянемо ∆ABC і ∆A₁B₁C₁: ∠A = ∠A₁; ∠ABC = ∠A₁B₁C₁ = 90°.

AB = A₁B₁.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо:

∆ABC = ∆A₁B₁C₁. Доведено.