Вправи: 417

417. Відрізок AM — медіана трикутника ABC, ∠CAM > ∠BAM. Доведіть, що AB > AC.

Доведення:

Нехай даний ∆ABCy AM — медіана, ∠CAM > ∠BAM.

Доведемо, що AB > AC.

Продовжимо медіану AM за точку M на її довжину.

AM = MP.

Розглянемо ∆AMC і ∆PMВ:

1) AM = MP (за побудовою); 2) BM = MC (AM — медіана);

3) ∠AMC = ∠PMB (як вертикальні).

Отже, ∆AMC = ∆PMB за I ознакою рівності трикутників.

Розглянемо ∆PAC і ∆APB: 1) AC = BP (∆АМС = ∆PMВ);

2) ∠PAC = ∠APB (∆АМС = ∆PMB); 3) AP — спільна.

Отже, ∆PAC = ∆APB за І ознакою рівності трикутників, з цього випливає рівність всіх відповідних елементів: ∠APC = ∠BAM, AB = PC.

Розглянемо ∆АРС:

∠PAC > ∠APC, тоді PC > AC, так як AB = PC, то AB > AC.