Вправи: 416

416. У трикутнику ABC відомо, що ∠A = α, бісектриси зовнішніх

кутів при вершинах B i C перетинаються в точці О. Знайдіть кут BOC.

Нехай даний ∆ABC, ∠A =α, ∠KBC — зовнішній

∠BCD — зовнішній, BO — бісектриса ∠KBC,

CO — бісектриса ∠BCD. Знайдемо ∠BOC.

Нехай ∠ABC = x, ∠ACB = у.

Розглянемо ∆ABC: ∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°.

а + х + у = 180°; х + у = 180° – α.

∠KBC і ∠ABC — суміжні, тоді ∠KBC + ∠ABC = 180°.

∠KBC + х = 180°; ∠KBC = 180° – х;

∠KBO = ∠OBC = 12 ∠KBC = 180° - x 2 = 90° – x2 (BO — бісектриса ∠KBC).

∠BCD і ∠BCA — суміжні, тоді ∠BCD + ∠BCA = 180°.

∠BCD + у = 180°; ∠BCD = 180° – y;

∠BCO = ∠OCD = 12 ∠BCD = 180° - y2 = 90° – y2 (СО – бісектриса ∠BCD).

Розглянемо ∆BOC:

∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°.

∠BOC = 180° – (90° – x2 + 90° – y2); ∠BOC = 180° – 90° + x2 – 90°– y2;

∠BOC = x2 + y2; ∠BOC = x +y 2;

Так як x + у = 180° – α, то ∠BOC = 180° - α2 = 90° – α2.

Відповідь: ∠ BOC – 90°– α2.