Вправи: 420

420. Доведіть, що сума довжин двох сторін трикутника більша за подвоєну довжину медіани, проведеної до третьої сторони.

Нехай даний ∆ABC, CO — медіана, доведемо, що AC + BC > 2CO. На продовженні медіани CO відкладемо OD = ОС.

Розглянемо ∆BOC і ∆AOD:

1) AO = OB (ОС — медіана);

2) CO = OD (за побудовою);

3) ∠BOC = ∠AOD (як вертикальні).

Отже, ∆BOC = ∆AOD за І ознакою рівності трикутників, тоді BC = AD.

Розглянемо ∆ADC, з нерівності трикутника випливає, що

AD + AC > DC (AD = BC, DC = 2СО), тоді AC + BC > 2CO.