Вправи: 422

422. На медіані BM трикутника ABC позначили точку O так, що ∠OAC = ∠OCA. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений.

Нехай ∆ABC — даний за умовою.

BM — медіана, т. O лежить на BM,

∠OAM = ∠OCM, доведемо, що ∆ABC

— рівнобедрений.

Розглянемо ∆AOC — рівнобедрений, так як ∠OAM = ∠OCM.

Оскільки OM — медіана, проведена до основи AC, то OM — висота і бісектриса.

∠AOM = ∠COM (ОМ — бісектриса).

Розглянемо ∆ABO і ∆CBO: 1) AO = CO (∆АОС — рівнобедрений);

2) BO — спільна; 3) ∠BOA – ∠BOC (як суміжні з рівними).

Отже, ∆ABO = ∆CBO за І ознакою рівності трикутників, з цього випливає, що AB = BC, тоді ∆ABC — рівнобедрений.