Вправи: 347

347. Трикутник ABC — рівнобедрений з основою AC. Через довільну точку M його бісектриси BD проведено прямі, які паралельні його сторонам AB і BC та перетинають відрізок AC у точках E та F відповідно. Доведіть, що DE = DF.

Дано: ∆ABC — рівнобедрений; AC — основа;

BD — бісектриса; M ∈ BD. AB ∥ ME; BC ∥ MF.

Довести: DE = DF.

Доведення:

За умовою ∆ABC — рівнобедрений (AB = BC).

За умовою BD — бісектриса. За властивістю

рівнобедреного трикутника маємо: BD — висота.

BD ⊥ AC, тобто ∠MDE = ∠MDF = 90°.

За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо: ∠A = ∠C.

За умовою AB ∥ ME; AC — січна, тоді за ознакою паралельності прямих маємо: ∠BAC = ∠MEC (відповідні).

Аналогічно: MF ∥ BC; AC — січна, ∠BCA = ∠MFA.

Якщо ∠A = ∠C; ∠A = ∠MED; ∠C = ∠MFD, тоді ∠MEF = ∠MFE. Тоді

∆EMF — рівнобедрений. MD — висота, тоді MD — медіана, отже

DE = EF. Доведено.