Вправи: 187

187. Доведіть рівність двох трикутників за бісектрисою, кутом, з вершини якого проведено цю бісектрису, і кутом, що утворює бісектриса зі стороною, до якої її проведено.

Доведення: Нехай дано ΔABC і ΔA₁B₁C₁, за умовою ∠A = ∠A₁,

AK і A₁K₁ — бісектриси кутів А і A₁ відповідно, AK = A₁K₁,

∠AKB = ∠A₁K₁B₁.

Доведемо, що ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Розглянемо ΔABK і ΔA₁B₁K₁.

1) AK = A₁K₁ (за умовою);

2) ∠AKB = ∠A₁K₁B₁ (за умовою);

3) ∠BAK = ∠B₁A₁K₁ (як половини рівних кутів).

Отже, ΔABK = ΔA₁B₁K₁ за II ознакою.

Розглянемо ΔABC і ΔA₁B₁C₁. 1) AB = A₁B₁ (т. я. ΔABK = ΔA₁B₁K₁);

2) ∠BAC = ∠B₁A₁C₁ (за умовою);

3) ∠ABC = ∠A₁B₁C₁ (т. я. ΔABK = ΔA₁B₁K₁).

Отже, ΔABC = AA₁B₁C₁ за II ознакою.