Вправи: 654

654. Доведи тотожність.

(а – b)³ + (b – c)³ – (a – c)³ = –3(а – b)(b – c)(a – c).

Доведення

Л.ч. – Пр.ч.

(а – b)³ + (b – c)³ – (a – c)³ + 3(a – b)(b – c)(a – c) = ((a – b)³ + (b – c)³) – (а – c)((a – c)² – 3(a – b)(b – c)) = (a – b + b – c)((a – b)² – (a – b)(b – c) + (b – c)²) – (а – с)(а² – 2ac + c² – 3(ab – ac – b² + bc)) = (a – c)(а² – 2ab + b² – (ab – ac – b² + bc) + b² – 2bc + c²)) – (а – с)(а² – 2ac + c² – 3ab + 3ac + 3b² – 3bc) = (a – c)(a² – 2ab + b² – ab + ac + b² – bc + b² – 2bc + c² – (а² – 2ac + c² – 3ab + 3ac + 3b² – 3bc) = (а – с)(а² – 2ab + b² – ab + ac + b² – bc + b² – 2bc + c² – а² + 2ac – c² + 3ab – 3ac – 3b² + 3bc) = (a – c) • 0 = 0.

Тотожність доведено.