Вправи: 565

565. Два натуральні числа при діленні на 13 дають в остачі 1 і 3 відповідно. Доведіть, що різниця кубів цих чисел ділиться на 13.

Дані числа можна записати у вигляді 13n + 3 і 13m + 1 відповідно,

де n і m — частки від ділення їх на 13.

(13n + З)³ – (13m + 1)³ = (13n + 3 – 13m – 1)(169n² + 78n + 9 + 169mn + 13n + 39m + 3 + 169m² + 26m + 1) = (13n – 13m + 2)(169n² + 91n + 169mn + 65m + 13) = (13n – 13m + 2)(13 • 13n² + 13 • 7n + 13 • 13mn + 13 • 5m + 13) = 13(13n – 13mn + 2)(13n² + 7n + 13mn + 5m + 1) — число кратне 13.