Вправи: 477

477. Ціле число m не ділиться на 5. Доведіть, що число m⁴ – 1 ділиться на 5.

Оскільки m не ділиться на 5, то m = 5k + r, де m — ціле число, k —

ціле число, 0 < r ≤ 4, тобто r = 1; r = 2; r = 3; r = 4.

m⁴ - 1 = (5k + r)⁴ - 1 = (25k² - 10kr + r²)² - 1 = 625r⁴ + 100k²r² +

+ r⁴ - 500k³r + 50k²r² - 20kr³ - 1.

Отже, 625r⁴ : 5 = 125r⁴; 100k²r² : 5 = 20k²r²; -500k³r : 5 = -100k³r;

50k²r² : 5 = 10k²r²; -20kr² : 5 = -4kr³;

значення виразу (r⁴ - 1) ⋮ 5, якщо r = 1 (0 : 5 = 0), r = 2 (16 - 1 =

= 15; 15 : 5 = 3), r = 3 (81 - 1 = 80, 80 : 5 = 16), r = 4 (256 - 1 =

= 255, 255 : 5 = 51).

Це означає, що число m⁴ - 1 ділиться на 5.