Вправи: 410

410. Периметр прямокутника дорівнює 24 см. Якщо його довжину збільшити на 3 см, а ширину зменшити на 2 см, то площа зменшиться на 5 см². Знайдіть довжину і ширину прямокутника.

Нехай а см — довжина прямокутника, тоді ширина цього прямокут-ника — це (12 - а) см (Р = 2(а + b); 24 = 2 (а + b), а + b = 12, b =

= 12 - а — ширина), площа цього прямокутника — це а(12 - а) =

= 12а - а² (см²).

Нова довжина — (а + 3) см, нова ширина (12 - а - 2 = 10 - а) см, а площа нового прямокутника — (а + 3)(10 - а) = 10а - а² + 30 - За =

= 7а - а² + 30 (см²), що на 5 см² менше від початкової площі. Отже, 12а - а² = 7а - а² + 30 + 5; 5а = 15; а = 7. Довжина початкового прямокутника 7 см, а ширина — 5 см.

411*. Розв’яжіть рівняння:

a) -x² + Зх + х - 3 + (х² + х)(х⁴ + 1) - х⁵(х + 1) = 0;

-x² + 4х - 3 + (х + 1)(х⁵ + х - х5) = 0;

-x² + 4x - 3 + х² + х = 0; 5х - 3 = 0; 5х = 3; х = 0,6;

б) 6|х|² + 4|х| - 9|х| - 6 = 6|х|² - 4|х| + 3|х| - 2; -4|х| = 4; |х| = -1; рівняння не має розв’язків; -

в) х²ⁿ + хⁿ + хⁿ⁺¹ + х - x²ⁿ - хⁿ⁺¹ - хⁿ = 2х + 1, де n — натуральне число;

-х = 1; х = -1.