Вправи: 1112

1112. а) Доведіть, що сума чисел abc, bca і cab кратна 111.

б) Доведіть, що не існує трицифрового числа abc, для якого число

abc + bca + cab було б квадратом натурального числа.

а) abc + bca + cab = 100a + 10b + с + 100b + 10с + а + 100с +

+ 10a + b = 111a +111b + 111c = 111(a + b + с) — ділиться на 111 вираз ділиться на 111.

б) abc + bca + cab = 111(a + b + с) = 37 • 3 • (а + b + с). При будь-яких цифрах a, b і с не можна отримати 37 • 3, тому що a + b + с ≤

≤ 27, отже, дане число не може бути квадратом натурального числа, що і треба було довести.