Вправи: 1026

1026. З міста А до міста В о 10 год виїхав автобус, а з міста В до міста А о 10 год 25 хв — автомобіль. До моменту зустрічі об 11 год 20 хв автомобіль проїхав на 8 км менше, ніж автобус. Знайдіть швидкості автобуса й автомобіля, якщо до міста А автомобіль приїхав о 12 год 20 хв.

Нехай швидкість автобуса х км/год, а автомобіля у км/год. До зустрічі автобус проїхав за 12060 год — 113 х км. а автомобіль за

5560 год — 1112 у км. За умовою задачі автомобіль до зустрічі проїхав на 8 км менше, ніж автобус, рівняння: 11\43х - 1112у = 8^\12.

Автомобілю до пункту А залишилось проїхати за 1 год у км, що скла-

дає 113 х км. Рівняння: у = 113 х . Отримали систему рівнянь:

113x - 1112y = 8,-113x + y = 0;

112y = 8,y = 113x;

y = 96,x = 96 : 43;

y = 96,x = 72.

Відповідь; 72 км/год, 96 км/год.

1. Укажіть розв’язки рівняння х– у = 2:

х - у = 2. 3 - 1 = 2. Відповідь: б.

2. Яка з пар чисел є розв’язком системи рівнянь

2x - y = 3,3x + y = 7;

2 • 2 - 1 = 3,3 • 2 + 1 = 7.

Відповідь: в.

3. Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки та вкажіть правильну Відповідь:

y = 2 - x,3x + y = 6;

y = 2 - x,3x + 2 - x = 6;

y = 2 - x,2x = 4;

x = 2,y = 0. (2; 0).

Відповідь: в.

4. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання та вкажіть правильну Відповідь:

x + y = 6,3x - y = 2;

4x = 8,x + y = 6;

x = 2,y = 4.

(2; 4).

Відповідь: г.

5. Сума двох чисел дорівнює 21, до того ж, одне з них на 5 більше від іншого. Знайдіть ці числа.

Нехай більше число дорівнює х, а менше — у. Яка система рівнянь відповідає умові задачі?

x + y = 21,x - y = 5.

Відповідь: г.

6. Доберіть замість зірочок такі числа, щоб пари (3; *) і (* ; 2) були розв’язками рівняння 5х – 2у = 9.

5х - 2у = 9; (3; у); 15 -2y = 9; 15 - 9 = 2y; у = 3. (х; 2);

5x - 4 = 9; 5x = 13; x = 2,6. Відповідь: (3; 3); (2,6; 2).

7. Розв’яжіть графічно систему рівнянь

x - y = 2,x + 3y = 6.x - y = 2. Графік — пряма, яка проходитьчерез точки: (2 ; 0) і (0; - 2).х + 3y = 6 . Графік — прямa, яка проходитьчерез точки: (6 ; 0) і (0 ; 2).А( 3; 1)Відповідь: (3; 1).

8. Розв’яжіть систему рівнянь

x + 2y = 11,2x - 3y = 1;	x = 11 - 2y,2(11 - 2y) - 3y = 1;	x = 11 - 2y,-4y - 3y = 1 - 22;
x = 11 - 2y-7y = -21;	x = 11 - 2 • 3,y = 3;	x = 5,y = 3.

Відповідь: (5; 3).

9. Розв’яжіть систему рівнянь

3x + 2y = 6,4x - 2y = 8;

7x = 14,3x + 2y = 6;

x = 2,6 + 2y = 6;

x = 2,y = 0.

Відповідь: (2; 0).

10. У магазині борошно продають у малій та великій упаковках. Загальна маса малої та великої упаковок борошна дорівнює 7 кг, а 2 малі й 3 великі упаковки мають загальну масу 19 кг. Яка маса малої упаковки борошна і яка великої?

Нехай маса великої упаковки х кг, а маленької — у кг. Загальна маса

(х +y) кг або 7 кг. Рівняння: х + у = 7.

2 малі і 3 великі упаковки мають масу (2у + Зх) кг або 19 кг.

Рівняння: Зх + 2у= 19. Отримали систему рівнянь:

x + y =7,3x + 2y = 19;

-2x - 2y = -14,3x + 2y = 19;

x = 5,y = 2.

Відповідь: 5 кг і 2 кг.

11. Знайдіть таке число а, щоб графік рівняння 2х– ау = 2 проходив через точку (–1; 2).

2х - ау = 2; (-1 ; 2); x = - 1; y = 2. -2 - 2а = 2; -2а = 2 + 2; а = -2.

Відповідь: а = -2.

12. Розв’яжіть графічно систему рівнянь

2x - 5y = -1,

3x + 2y = 8.

Графік рівняння 2x - 5y = -1 — пряма, яка проходить через точки (2; 1) і (7; 3).

Графік рівняння 3x + 2у = 8 — пряма, яка проходить через точки

(0; 4) і (2; 1). А( 2; 1)

Відповідь: (2; 1).

13. Розв’яжіть систему рівнянь

2x - 0,3y = 2, • (-5)5x + 0,2y = 24; • 2	-10x + 1,5y = -10, 10x + 0,4y = 48;	1,9y = 38,2x - 0,3y = 2;
y = 20,2x - 6 = 2;	y = 20,x = 4.	Відповідь: (4; 20).

14. Розв’яжіть систему рівнянь

3(2x - y) - 2(x - y) = 1,4x - 5(x + 2y) = 51;	6x - 3y - 2x + 2y = 1,4x - 5x - 10y = 51;	4x - y = 1,-x -10y = 51;
y = 4x - 1,-x - 10(4x - 1) = 51;	y = 4x - 1,-41x = 41;	y = -5,x = -1.

Відповідь: (-1; -5).

15. За цукерки і печиво мама заплатила 15 грн. Відомо, що 25% вартості цукерок менші, ніж третина вартості печива, на 1 грн 50 к. Скільки гри- вень мама заплатила за цукерки і скільки за печиво?

Нехай за цукерки заплатили х грн, а за печиво — у грн. Всього заплатили (х + у) грн, за умовою задачі 15 грн. Рівняння: х + у =

= 15. 25 % вартості цукерок складає 0,25х грн, а третина печива —

13 y грн. Різниця складає (13 у - 0,25х) грн. За умовою задачі дорівнює 1,5 грн.

Рівняння: 1\43 - 1\34х = 11\62 або 4y - Зх = 18. Отримали систему рівнянь:

x + y = 15,4y - 3x = 18;

3x + 3y = 45,-3x + 4y = 18;

7y = 63,x = 15 - y;

y = 9,x = 6.

Відповідь: 6 грн — за цукерки і 9 грн — за печиво.

16. Знайдіть такі числа а і b, щоб графік рівняння 2ах – (b +

+ 2)у = 2 проходив через точки (–1; 4) і (2; 2).

2ах - (b + 2)у = 2, якщо (-1; 4), то -2а - 4(b + 2) = 2;

якщо (2; 2), то 4а - 2(b + 2) = 2. Отримали систему:

-2a - 4b = 10,4a - 2b = 6;

-2a - 4b = 10,2a - b = 3;

-5b = 13,2a = 3 + b;

b = -2,6,a = 0,2.

Відповідь: а = 0,2; b = -2,6.

17. Розв’яжіть графічно систему рівнянь

|2x| - y = 0,x + y = 3;

y = |2x|,y = 3 - x.

А(-3; 6); В(1 ; 2).

Відповідь: (-3; 6) і (1; 2).

18. Розв’яжіть систему рівнянь

(x - 1)2 + y = (x + 2)2,(y + 1)2 - x = (y - 2)2	x2 - 2x + 1 + y = x2 + 4x + 4,y2 + 2y + 1 - x = y2 - 4y + 4;
-6x + y = 3,-x + 6y = 3;	y = 3 + 6x,-x + 6(3 + 6x) = 3;	y = 3 + 6x,35x = -15;
y = 3 + 6x,x = -1535;	x = - 37; y = 37.	Відповідь: (-37; 37).

19. Для якого значення коефіцієнта а система рівнянь має безліч розв’язків?

x + 3y = 4,

2x + ay = 8. Cистема має безліч розв’язків, якщо виконується рівність:

12 = 3a = 48. а = 6. Відповідь: а = 6 .

20. Є сталь двох сортів з умістом нікелю 5% і 40%. Скільки тонн сталі кожного сорту потрібно взяти, щоб після переплавки одержати 70 т сталі, яка містила б 30% нікелю?

Нехай маса одного сорту сталі х т, а другого — у т.

Всього (х + у) т або 70 т. Рівняння: х + у = 70.

Нікелю у І сорті 0,05x т, а у другому — 0,4у т.

Всього нікелю (0,05х + 0,4у) т або 70 • 0,3 т. Рівняння: 0,05x +

+ 0,4у = 70 • 0,3.

Отримали систему рівнянь:

x + y = 70,0,05x+0,4y =21;

x = 70 - y,0,05(70- y)+0,4y = 21;

x = 70 - y,3,5+0,35y=21;

x = 20,y = 50.

Відповідь: 20 т і 50 т.