Вправи: 1059

1059. Летіла зграя гусаків. На першому озері залишилася половина всіх гусаків і ще пів гусака, на другому — половина гусаків, що залишилася, та ще пів гусака, на третьому — половина залишку та ще пів гусака, на четвертому — половина нового залишку та ще пів гусака, і, нарешті, на п’ятому — половина від залишку і ще пів гусака. Після цього виявилося, що всі гусаки розподілилися на п’яти озерах. Скільки гусаків було в зграї?

Будемо вирішувати завдання з кінця. Нехай гусаки, починаючи з п’ятого озера, починають відлітати. На кожне озеро сідали спочатку половина всіх гусаків, а потім ще пів гусака, тоді, коли гуси відлітають з озер, до загальної зграї, пролітаючи чергове озеро, спочатку приєднується пів гусака, а потім кількість гусаків подвоюється.

Після 5-го озера в зграї залишилося 0 гусаків, тоді, після 4-го озера летіло (0 + 12) · 2 = 12 + 12 = 1 гусак. Аналогічно, після 3-го озера летіли (1 + 12) · 2 = 3 гусака, після 2-го озера летіли (3 + 12) · 2 = 7 гусаків, після 1-го озера летіли (7 + 12) · 2 = 15 гусаків, отже перед 1-м озером летіли (15 + 12) · 2 = 31 гусак. Отже, всього було 31 гусаків.

Відповідь: в зграї було 31 гусаків.