Відповіді ГЕОМЕТРІЯ: 4.34

4.34 Точка D не лежить у площині трикутника АВС (мал. 4.18). На відрізках АD, СD і ВС взято точки К, L і М відповідно так, що DК : КА = DL : LС = ВМ : МС = 1 : 3. 1) Доведіть, що пряма АС паралельна КLМ. 2) Яким є взаємне розміщення прямої ВD і площини КLМ?3) Побудуйте точку N – точку перетину площини КLМ і відрізка АВ. Побудову обґрунтуйте. 4) Знайдіть периметр чотирикутника KLMN, якщо АС = 8 см, ВD = 12 см.

DК : КА = DL : LC = BM : MC = 1 : 3.

1. Довести: АС ∥ (КLМ)

КL ∥ АС, бо DК : КА = DL : LС за т. Фалеса.

Якщо в площині (КLМ) є пряма, паралельна АС, то АС ∥ (КLМ) за ознакою паралельності прямої і площини.

2) ВД ∥ LМ, бо СL : LD = СМ : МВ, тому ВD ∥ (LММ).

3) N = (KLM) ∩ AB

KN ∥ ВD, коли AN : NB = 3 : 1

Тому будуємо точку N в такому співвідношені

4) АС = 8 см, ВD = 12 см.

P_LMNK – ?

LMNK – паралелограм, бо протилежні сторони паралельні

KL∥AC, MN∥AC ⇒ KL∥MN

ML∥DD, KN∥BD ⇒ ML∥KN

∆CLM ~ ∆CDB ⇒ CMCB = MLBD;

34 = ML12; ML = 3 • 124 = 9 (см)

∆KDL ~ ∆ADC ⇒ KLAC = KDAD;

KLAC = 14; KL = 8 • 14 = 2 (cм)

Р = 2 • (9 + 2) = 2 • 11 = 22 (см).