§ 19: 19.37

19.37 Точки M, F і K — середини відповідно ребер BC, AD і CD

тетраедра DABC. На відрізку AM позначили точку P, а на відрізку

CF — точку E так, що AP : PM = 4 : 1, CE : EF = 2 : 3. Доведіть, що прямі PE і BK паралельні.

AP : PM = 4 : 1 CE : EF = 2 : 3Довести: PE ∥ BKPE = PA + AF + FE = 45 MA + 12 AD + 35 FC = 45 (BA – BM) + 12 • (BD – BA) + 35 • (BC – BF) = 45 BA – 45 • 12 BC + 12 BD – 12 BD – 12 BA + 35 BC – – 35 • 12 (BD + BA) = 45 BA – 25 BC +

+ 12 BD – 12 BA + 35 BC – 310 BD – 310 BA = 15 BC + 15 BD

BK = 12 BC + 12 BD.

Бачимо, що коефіцієнти при однакових векторах пропорційні, означає, що ВК ∥ РЕ.