§ 19: 19.36

19.36 Точки E і F є відповідно серединами ребер BC і AD тетраедра

DABC. На відрізках BD, EF і AC позначили відповідно точки M,

K і P так, що DM : MB = FK : KE = AP : PC = 2 : 1. Доведіть,

що точки M, K і P лежать на одній прямій.

DM : MB = 2 : 1; FK : KE = 2 : 1; AP : PC = 2 : 1.Довести: M, K i P лежать на одній прямій.MP = MB + BP = 13 DB + AP – AB = 13 • (AB – AD) + 12 AC – AB = 13 AB – 13 AD + 12 AC – AB = –23 AB – 13 AD + 12 AC

MK = MD + DF + FK = 23 BD – 12 AD + 23 FE = 23 (AD – AB) – 12 AD +

+ 23 • (AE – AF) = 23 AD – 23 AB – 12 AD + 23 (12(AC + AB) – 12 AD) =

= 23 AD – 23 AB – 12 AD + 13 AC + 13 AB – 13 AD = –13 AB – 16 AD + 16 AC

MP ∥ MK ⇒ M, K i P лежать на одній прямій.